线性代数示例

$[\begin{array}{c} 6 & - 2 & - 4 & 4 \\ 3 & - 3 & - 6 & 1 \\ - 12 & 8 & 21 & - 8 \\ - 6 & 0 & - 10 & 7 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ w \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 8 \\ - 43 \end{array}]$

Step 1

变换核是使变换等于零向量（变换厡像）的一个向量。

$[\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 8 \\ - 43 \end{array}] = 0$

Step 2

从向量方程创建一个方程组。

$2 = 0$

$- 4 = 0$

$8 = 0$

$- 43 = 0$

Step 3

从等式两边同时减去 $2$ 。

$0 = - 2$

$- 4 = 0$

$8 = 0$

$- 43 = 0$

Step 4

在等式两边都加上 $4$ 。

$0 = 4$

$0 = - 2$

$8 = 0$

$- 43 = 0$

Step 5

从等式两边同时减去 $8$ 。

$0 = - 8$

$0 = - 2$

$0 = 4$

$- 43 = 0$

Step 6

在等式两边都加上 $43$ 。

$0 = 43$

$0 = - 2$

$0 = 4$

$0 = - 8$

Step 7

以矩阵形式书写方程组。

$[\begin{array}{c} - 2 \\ 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

Step 8

求矩阵的行简化梯阵形式。

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对 $R_{1}$ （第 $1$ 行）进行行运算 $R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$ ，从而将该行中的某些元素转换为 $1$ 。

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使用行运算 $R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$ 替换 $R_{1}$ （行 $1$ ），从而将行中的部分元素转换为所需值 $1$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} R_{1} \\ 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$

使用行运算 $R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$ 的元素实际值替换 $R_{1}$ （行 $1$ ）。

$[\begin{array}{c} (- \frac{1}{2}) \cdot (- 2) \\ 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$

化简 $R_{1}$ （行 $1$ ）。

$[\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

对 $R_{2}$ （第 $2$ 行）进行行运算 $R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$ ，从而将该行中的某些元素转换为 $0$ 。

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使用行运算 $R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$ 替换 $R_{2}$ （行 $2$ ），从而将行中的部分元素转换为所需值 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 \\ - 4 \cdot R_{1} + R_{2} \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

$R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$

使用行运算 $R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$ 的元素实际值替换 $R_{2}$ （行 $2$ ）。

$[\begin{array}{c} 1 \\ (- 4) \cdot (1) + 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

$R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$

化简 $R_{2}$ （行 $2$ ）。

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

对 $R_{3}$ （第 $3$ 行）进行行运算 $R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$ ，从而将该行中的某些元素转换为 $0$ 。

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使用行运算 $R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$ 替换 $R_{3}$ （行 $3$ ），从而将行中的部分元素转换为所需值 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 8 \cdot R_{1} + R_{3} \\ 43 \end{array}]$

$R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$

使用行运算 $R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$ 的元素实际值替换 $R_{3}$ （行 $3$ ）。

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ (8) \cdot (1) - 8 \\ 43 \end{array}]$

$R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$

化简 $R_{3}$ （行 $3$ ）。

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 43 \end{array}]$

对 $R_{4}$ （第 $4$ 行）进行行运算 $R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}$ ，从而将该行中的某些元素转换为 $0$ 。

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使用行运算 $R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}$ 替换 $R_{4}$ （行 $4$ ），从而将行中的部分元素转换为所需值 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ - 43 \cdot R_{1} + R_{4} \end{array}]$

$R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}$

使用行运算 $R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}$ 的元素实际值替换 $R_{4}$ （行 $4$ ）。

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ (- 43) \cdot (1) + 43 \end{array}]$

$R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}$

化简 $R_{4}$ （行 $4$ ）。

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Step 9

使用结果矩阵定义方程组的最终解。

$0 = 1$

Step 10

该表达式为方程组的解集。

${}$

Step 11

通过重新安排增广矩阵的行简化式中的每一个方程对解向量进行分解，而简化式是通过求解每一行中的因变量得出。

$X = = [\begin{array}{c} 0 \end{array}]$

Step 12

集合的零空间为通过方程组自由变量创建的向量集合。

${[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$

Step 13

$M$ 的核心是子空间 ${[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$ 。

$K (M) = {[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$

线性代数 示例

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